◎历二
○授时历议下
交食
历法疏密，验在交食，然推步之术难得其密，加时有早晚，食分有浅深，取其密合，不容偶然。推演加时，必本于躔离朓朒；考求食分，必本于距交远近；苟入气盈缩、入转迟疾未得其正，则合朔不失之先，必失之后。合朔失之先后，则亏食时刻，其能密乎？日月俱东行，而日迟月疾，月追及日，是为一会。交值之道，有阳历阴历；交会之期，有中前中后；加以地形南北东西之不同，人目高下邪直之各异，此食分多寡，理不得一者也。今合朔既正，则加时无早晚之差；气刻适中，则食分无强弱之失；推而上之，自《诗》、《书》、《春秋》及三国以来所载亏食，无不合焉者。合于既往，则行之悠久，自可无弊矣。
《诗》、《书》所载日食二事
《书·胤征》：“惟仲康肇位四海。乃季秋月朔，辰弗集于房。”
今按《大衍历》作仲康即位之五年癸巳，距辛巳三千四百八年，九月庚戌朔，泛交二十六日五千四百二十一分入食限。
《诗·小雅·十月之交》，大夫刺幽王也。“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑。”
今按梁太史令虞絪云：十月辛卯朔，在幽王六年乙丑朔。《大衍》亦以为然。以《授时历》推之，是岁十月辛卯朔，泛交十四日五千七百九分入食限。
《春秋》日食三十七事
隐公三年辛酉岁，春王二月己巳，日有食之。
杜预云：“不书朔，史官失之。”《公羊》云：“日食或言朔或不言朔，或日或不日，或失之前或失之后，失之前者朔在前也，失之后者朔在后也。”《谷梁》云：“言日不言朔，食晦日也。”姜岌校《春秋》日食云：“是岁二月己亥朔，无己巳，似失一闰。
三月己巳朔，去交分入食限。”《大衍》与姜岌合。今《授时历》推之，是岁三月己巳朔，加时在昼，去交分二十六日六千六百三十一入食限。
桓公三年壬申岁，七月壬辰朔，日有食之。
姜岌以为是岁七月癸亥朔，无壬辰，亦失闰。其八月壬辰朔，去交分入食限。《大衍》与姜岌合。以今历推之，是岁八月壬辰朔，加时在昼，食六分一十四秒。
桓公十七年丙戌岁，冬十月朔，日有食之。
《左氏》云：“不书日，史官失之。”《大衍》推得在十一月交分入食限，失闰也。以今历推之，是岁十一月加时在昼，交分二十六日八千五百六十入食限。
庄公十八年乙巳岁，春王三月，日有食之。
《谷梁》云：“不言日，不言朔，夜食也。”《大衍》推是岁五月朔，交分入食限，三月不应食。以今历推之，是岁三月朔，不入食限。五月壬子朔，加时在昼，交分入食限，盖误五为三。
庄公二十五年壬子岁，六月辛未朔，日有食之。
《大衍》推之，七月辛未朔，交分入食限。以今历推之，是岁七月辛未朔，加时在昼，交分二十七日四百八十九入食限，失闰也。
庄公二十六年癸丑岁，冬十有二月癸亥朔，日有食之。
今历推之，是岁十二月癸亥朔，加时在昼，交分十四日三千五百五十一入食限。
庄公三十年丁巳岁，九月庚午朔，日有食之。
今历推之，是岁十月庚午朔，加时在昼，去交分十四日四千六百九十六入食限，失闰也。《大衍》同。
僖公十二年癸酉岁，春王三月庚午朔，日有食之。
姜氏云：“三月朔，交不应食，在误条；其五月庚午朔，去交分入食限。”《大衍》同。今历推之，是岁五月庚午朔，加时在昼，去交分二十六日五千一百九十二入食限，盖五误为三。
僖公十五年丙子岁，夏五月，日有食之。
《左氏》云：“不书朔与日，史官失之也。”《大衍》推四月癸丑朔，去交分入食限，差一闰。今历推之，是岁四月癸丑朔，去交分一日一千三百一十六入食限。
文公元年乙未岁，二月癸亥朔，日有食之。
姜氏云：“二月甲午朔，无癸亥。三月癸亥朔，入食限。”《大衍》亦以为然。今历推之，是岁三月癸亥朔，加时在昼，去交分二十六日五千九百十七分入食限，失闰也。
文公十五年己酉岁，六月辛丑朔，日有食之。
今历推之，是岁六月辛丑朔，加时在昼，交分二十六日四千四百七十三分入食限。
宣公八年庚申岁，秋七月甲子，日有食之。
杜预以七月甲子晦食。姜氏云：“十月甲子朔，食。”《大衍》同。今历推之，是岁十月甲子朔，加时在昼，食九分八十一秒，盖十误为七。
宣公十年壬戌岁，夏四月丙辰，日有食之。
今历推之，是月丙辰朔，加时在昼，交分十四日九百六十八分入食限。
宣公十七年己巳岁，六月癸卯，日有食之。
姜氏云：“六月甲辰朔，不应食。”《大衍》云：“是年五月在交限，六月甲辰朔，交分已过食限，盖误。”今历推之，是岁五月乙亥朔，入食限。六月甲辰朔，泛交二日已过食限，《大衍》为是。
成公十六年丙戌岁，六月丙寅朔，日有食之。
今历推之，是岁六月丙寅朔，加时在昼，去交分二十六日九千八百三十五分入食限。
成公十七年丁亥岁，十有二月丁巳朔，日有食之。
姜氏云：“十二月戊子朔，无丁巳，似失闰。”《大衍》推十一月丁巳朔，交分入食限。今历推之，是岁十一月丁巳朔，加时在昼，交分十四日二千八百九十七分入食限，与《大衍》同。
襄公十四年壬寅岁，二月乙未朔，日有食之。
今历推之，是岁二月乙未朔，加时在昼，交分十四日一千三百九十三分入食限也。
襄公十五年癸卯岁，秋八月丁巳朔，日有食之。
姜氏云：“七月丁巳朔，食，失闰也。”《大衍》同。今历推之，是岁七月丁巳朔，加时在昼，去交分二十六日三千三百九十四分入食限。
襄公二十年戊申岁，冬十月丙辰朔，日有食之。
今历推之，是岁十月丙辰朔，加时在昼，交分十三日七千六百分入食限。
襄公二十一年己酉岁，秋七月庚戌朔，日有食之。
今历推之，是月庚戌朔，加时在昼，交分十四日三千六百八十二分入食限。
冬十月庚辰朔，日有食之。
姜氏云：“比月而食，宜在误条。”《大衍》亦以为然。今历推之，十月已过交限，不应频食，姜说为是。
襄公二十三年辛亥岁，春王二月癸酉朔，日有食之。
今历推之，是月癸酉朔，加时在昼，交分二十六日五千七百三分入食限。
襄公二十四年壬子岁，秋七月甲子朔，日有食之，既。
今历推之，是月甲子朔，加时在昼，日食九分六秒。
八月癸巳朔，日有食之。
《汉志》：“董仲舒以为比食又既。”《大衍》云：“不应频食，在误条。”今历推之，立分不叶，不应食，《大衍》说是。
襄公二十七年乙卯岁，冬十有二月乙亥朔，日有食之。
姜氏云：“十一月乙亥朔，交分入限，应食。”《大衍》同。今历推之，是岁十一月乙亥朔，加时在昼，交分初日八百二十五分入食限。
昭公七年丙寅岁，夏四月甲辰朔，日有食之。
今历推之，是月甲辰朔，加时在昼，交分二十七日二百九十八分入食限。
昭公十五年甲戌岁，六月丁巳朔，日有食之。
《大衍》推五月丁巳朔，食，失一闰。今历推之，是岁五月丁巳朔，加时在昼，交分十三日九千五百六十七分入食限。
昭公十七年丙子岁，夏六月甲戌朔，日有食之。
姜氏云：“六月乙巳朔，交分不叶，不应食，当误。”《大衍》云：“当在九月朔，六月不应食，姜氏是也。”今历推之，是岁九月甲戌朔，加时在昼，交分二十六日七千六百五十分入食限。
昭公二十一年庚辰岁，七月壬午朔，日有食之。
今历推之，是月壬午朔，加时在昼，交分二十六日八千七百九十四分入食限。
昭公二十二年辛巳岁，冬十有二月癸酉朔，日有食之。
今历推之，是月癸酉朔，交分十四日一千八百入食限。杜预以长历推之，当为癸卯，非是。
昭公二十四年癸未岁，夏五月乙未朔，日有食之。
今历推之，是月乙未朔，加时在昼，交分二十六日三千八百三十九分入食限。
昭公三十一年庚寅岁，十有二月辛亥朔，日有食之。
今历推之，是月辛亥朔，加时在昼，交分二十六日六千一百二十八分入食限。
定公五年丙申岁，春三月辛亥朔，日有食之。
今历推之，三月辛卯朔，加时在昼，交分十四日三百三十四分入食限。
定公十二年癸卯岁，十一月丙寅朔，日有食之。
今历推之，是岁十月丙寅朔，加时在昼，交分十四日二千六百二十二分入食限，盖失一闰。
定公十五年丙午岁，八月庚辰朔，日有食之。
今历推之，是月庚辰朔，加时在昼，交分十三日七千六百八十五分入食限。
哀公十四年庚申岁，夏五月庚申朔，日有食之。
今历推之，是月庚申朔，加时在昼，交分二十六日九千二百一分入食限。
右《诗》、《书》所载日食二事，《春秋》二百四十二年间，凡三十有七事，以《授时历》推之，惟襄公二十一年十月庚辰朔及二十四年八月癸巳朔不入食限，盖自有历以来，无比月而食之理。其三十五食，食皆在朔，《经》或不书日，不书朔，《公羊》、《谷梁》以为食晦，二者非；《左氏》以为史官失之者，得之。其间或差一日二日者，盖由古历疏阔，置闰失当之弊，姜岌、一行已有定说。孔子作书，但因时历以书，非大义所关，故不必致详也。
三国以来日食
蜀章武元年辛丑，六月戊辰晦，时加未。
《授时历》，食甚未五刻。
《大明历》，食甚未五刻。
右皆亲。二历推戊辰皆七月朔。
魏黄初三年壬寅，十一月庚申晦食，时加西南维。
《授时历》，食甚申二刻。
《大明历》，食甚申三刻。
右《授时》亲，《大明》次亲。二历推庚申皆十二月朔。
梁中大通五年癸丑，四月己未朔食，在丙。
《授时历》，亏初午四刻。
《大明历》，亏初午四刻。
右皆亲。
太清元年丁卯，正月己亥朔食，时加申。
《授时历》，食甚申一刻。
《大明历》，食甚申三刻。
右《授时》次亲，《大明》亲。
陈太建八年丙申，六月戊申朔食，于卯甲间。
《授时历》，食甚卯二刻。
《大明历》，食甚卯四刻。
右《授时》次亲，《大明》疏远。
唐永隆元年庚辰，十一月壬申朔食，巳四刻甚。
《授时历》，食甚巳七刻。
《大明历》，食甚巳五刻。
右《授时》疏，《大明》亲。
开耀元年辛巳，十月丙寅朔食，巳初甚。
《授时历》，食甚辰正三刻。
《大明历》，食甚辰正一刻。
右《授时》亲，《大明》疏。
嗣圣八年辛卯，四月壬寅朔食，卯二刻甚。
《授时历》，食甚寅八刻。
《大明历》，食甚卯初刻。
右皆次亲。
十七年庚子，五月己酉朔食，申初甚。
《授时历》，食甚申初二刻。
《大明历》，食甚申正初刻。
右《授时》次亲，《大明》疏远。
十九年壬寅，九月乙丑朔食，申三刻甚。
《授时历》，食甚申一刻。
《大明历》，食甚申四刻。
右《授时》次亲，《大明》亲。
景龙元年丁未，六月丁卯朔食，午正甚。
《授时历》，食甚午正二刻。
《大明历》，食甚未初初刻。
右《授时》次亲，《大明》疏远。
开元九年辛酉，九月乙巳朔食，午正后三刻甚。
《授时历》，食甚午正一刻。
《大明历》，食甚午正二刻。
右《授时》次亲，《大明》亲。
宋庆历六年丙戌，三月辛巳朔食，申正三刻复满。
《授时历》，复满申正三刻。
《大明历》，复满申正一刻。
右《授时》密合，《大明》次亲。
皇祐元年己丑，正月甲午朔食，午正甚。
《授时历》，食甚午初三刻。
《大明历》，食甚午正初刻。
右《授时》亲，《大明》密合。
五年癸巳岁，十月丙申朔食，未一刻甚。
《授时历》，食甚未三刻。
《大明历》，食甚未初刻。
右《授时》次亲，《大明》亲。
至和元年甲午，四月甲午朔食，申正一刻甚。
《授时历》，食甚申正一刻。
《大明历》，食甚申正二刻。
右《授时》密合，《大明》亲。
嘉祐四年己亥，正月丙申朔食，未三刻复满。
《授时历》，复满未初二刻。
《大明历》，复满未初二刻。
右皆亲。
六年辛丑，六月壬子朔食，未初亏初。
《授时历》，亏初未初刻。
《大明历》，亏初未一刻。
右《授时》亲，《大明》次亲。
治平三年丙午，九月壬子朔食，未二刻甚。
《授时历》，食甚未三刻。
《大明历》，食甚未四刻。
右《授时》亲，《大明》次亲。
熙宁二年己酉，七月乙丑朔食，辰三刻甚。
《授时历》，食甚辰五刻。
《大明历》，食甚辰四刻。
右《授时》次亲，《大明》亲。
元丰三年庚申，十一月己丑朔食，巳六刻甚。
《授时历》，食甚巳五刻。
《大明历》，食甚巳二刻。
右《授时》亲，《大明》疏远。
绍圣元年甲戌，三月壬申朔食，未六刻甚。
《授时历》，食甚未五刻。
《大明历》，食甚未五刻。
右皆亲。
大观元年丁亥，十一月壬子朔食，未二刻亏初，未八刻甚，申六刻复满。
《授时历》，亏初未三刻，食甚申初刻，复满申六刻。
《大明历》，亏初未初刻，食甚未七刻，复满申五刻。
右《授时历》亏初、食甚皆亲，复满密合；《大明》亏初次亲，食甚、复满皆亲。
绍兴三十二年壬午，正月戊辰朔食，申初亏初。
《授时历》，亏初申一刻。
《大明历》，亏初未七刻。
右皆亲。
淳熙十年癸卯，十一月壬戌朔食，巳正二刻甚。
《授时历》，食甚巳正二刻。
《大明历》，食甚巳正一刻。
右《授时》密合，《大明》亲。
庆元元年乙卯，三月丙戌朔食，午初二刻亏初。
《授时历》，亏初午初一刻。
《大明历》，亏初午初二刻。
右《授时》亏初亲，《大明》亏初密合。
嘉泰二年壬戌，五月甲辰朔食，午初一刻亏初。
《授时历》，亏初巳正三刻。
《大明历》，亏初午初三刻。
右皆亲。
嘉定九年丙子，二月甲申朔食，申正四刻甚。
《授时历》，食甚申正三刻。
《大明历》，食甚申正二刻。
右《授时》亲，《大明》次亲。
淳祐三年癸卯，三月丁丑朔食，巳初二刻甚。
《授时历》，食甚巳初一刻。
《大明历》，食甚巳初初刻。
右《授时》亲，《大明》次亲。
本朝中统元年庚申，三月戊辰朔食，申正二刻甚。
《授时历》，食甚申正一刻。
《大明历》，食甚申初三刻。
右《授时》亲，《大明》疏。
至元十四年丁丑，十月丙辰朔食，午正初刻亏初，未初一刻食甚，未正二刻复满。
《授时历》，亏初午正初刻，食甚未初一刻，复满未正一刻。
《大明历》，亏初午正三刻，食甚未正一刻，复满申初二刻。
右《授时》亏初、食甚皆密合，复满亲；《大明》亏初疏，食甚、复满皆疏远。
前代考古交食，同刻者为密合，相较一刻为亲，二刻为次亲，三刻为疏，四刻为疏远。今《授时》、《大明》校古日食，上自后汉章武元年，下讫本朝，计三十五事。密合者，《授时》七，《大明》二。亲者，《授时》十有七，《大明》十有六。次亲者，《授时》十，《大明》八。疏者，《授时》一，《大明》三。疏远者，《授时》无，《大明》六。
前代月食
宋元嘉十一年甲戌，七月丙子望食，四更二唱亏初，四更四唱食既。
《授时历》，亏初四更三点，食既在四更四点。
《大明历》，亏初在四更二点，食既在四更五点。
右《授时》亏初亲，食既密合；《大明》亏初密合，食既亲。
十三年丙子，十二月癸巳望食，一更三唱食既。
《授时历》，食既在一更三点。
《大明历》，食既在一更四点。
右《授时》密合，《大明》亲。
十四年丁丑，十一月丁亥望食，二更四唱亏初，三更一唱食既。
《授时历》，亏初在二更五点，食既在三更二点。
《大明历》，亏初在二更四点，食既在三更二点。
右《授时》亏初、食既皆亲；《大明》亏初密合，食既亲。
梁中大通二年庚戌，五月庚寅望月食，在子。
《授时历》，食甚在子正初刻。
《大明历》，食甚在子正初刻。
右皆密合。
大同九年癸亥，三月乙巳望食，三更三唱亏初。
《授时历》，亏初三更一点。
《大明历》，亏初三更三点。
右《授时》次亲，《大明》密合。
隋开皇十二年壬子，七月己未望食，一更三唱亏初。
《授时历》，亏初在一更四点。
《大明历》，亏初在一更五点。
右《授时》亲，《大明》次亲。
十五年乙卯，十一月庚午望食，一更四点亏初，二更三点食甚，三更一点复满。
《授时历》，亏初在一更三点，食甚在二更二点，复满在二更五点。
《大明历》，亏初在一更五点，食甚在二更三点，复满在二更五点。
右《授时》亏初、食甚、复满皆亲；《大明》亏初、复满皆亲，食甚密合。
十六年丙辰，十一月甲子望食，四更三筹复满。
《授时历》，复满在四更四点。
《大明历》，复满在四更五点。
右《授时》亲，《大明》次亲。
后汉天福十二年丁未，十二月乙未望食，四更四点亏初。
《授时历》，亏初四更五点。
《大明历》，亏初四更一点。
右《授时》亲，《大明》次亲。
宋皇祐四年壬辰，十一月丙辰望食，寅四刻亏初。
《授时历》，亏初在寅二刻。
《大明历》，亏初在寅一刻。
右《授时》次亲，《大明》疏。
嘉祐八年癸卯，十月癸未望食，卯七刻甚。
《授时历》，食甚在辰初刻。
《大明历》，食甚在辰初刻。
右皆亲。
熙宁二年己酉，闰十一月丁未望食，亥六刻亏初，子五刻食甚，丑四刻复满。
《授时历》，亏初在亥六刻，食甚在子五刻，复满在丑三刻。
《大明历》，亏初在子初刻，食甚在子六刻，复满在丑四刻。
右《授时》亏初、食甚密合，复满亲；《大明》亏初次亲，食甚亲，复满密合。
四年辛亥，十一月丙申望食，卯二刻亏初，卯六刻甚。
《授时历》，亏初在卯初刻，食甚在卯五刻。
《大明历》，亏初在卯四刻，食甚在卯七刻。
右亏初皆次亲，食甚皆亲。
六年癸丑，三月戊午望食，亥一刻亏初，亥六刻甚，子四刻复满。
《授时历》，亏初在戌七刻，食甚在亥五刻，复满在子三刻。
《大明历》，亏初在亥二刻，食甚在亥七刻，复满在子四刻。
右《授时》亏初次亲，食甚、复满皆亲；《大明》亏初、食甚皆亲，复满密合。
七年甲寅，九月己酉望食，四更五点亏初，五更三点食既。
《授时历》，亏初在四更五点，食既在五更三点。
《大明历》，亏初在四更三点，食既在五更二点。
右《授时》亏初、食既皆密合；《大明》亏初次亲，食既亲。
崇宁四年乙酉，十二月戊寅望食，酉三刻甚，戌初刻复满。
《授时历》，食甚在酉一刻，复满在酉七刻。
《大明历》，食甚在酉三刻，复满在戌二刻。
右《授时》食甚、复满皆次亲；《大明》食甚密合，复满次亲。
本朝至元七年庚午，三月乙卯望食，丑三刻亏初，寅初刻食甚，寅六刻复满。
《授时历》，亏初在丑二刻，食甚在寅初刻，复满在寅六刻。
《大明历》，亏初在丑四刻，食甚在寅一刻，复满在寅七刻。
右《授时》亏初亲，食甚、复满密合；《大明》亏初、食甚、复满皆亲。
九年壬申，七月辛未望食，丑初刻亏初，丑六刻食甚，寅三刻复满。
《授时历》，亏初在子七刻，食甚在丑四刻，复满在寅一刻。
《大明历》，亏初在丑二刻，食甚在丑六刻，复满在寅二刻。
右《授时》亏初亲，食甚、复满皆次亲；《大明》亏初次亲，食甚密合，复满亲。
十四年丁丑，四月癸酉望食，子六刻亏初，丑三刻食既，丑五刻甚，丑七刻生光，寅四刻复满。
《授时历》，亏初在子六刻，食既在丑四刻，食甚在丑五刻，生光丑六刻，复满寅四刻。
《大明历》，亏初在丑初刻，食既丑七刻，食甚在丑七刻，生光在丑八刻，复满寅六刻。
右《授时》亏初、食甚、复满皆密合，食既、生光皆亲；《大明》亏初、食甚、复满皆次亲，食既疏远，生光亲。
十六年己卯，二月癸酉望食，子五刻亏初，丑二刻甚，丑七刻复满。
《授时历》，亏初在子五刻，食甚在丑二刻，复满在丑七刻。
《大明历》，亏初在子七刻，食甚在丑三刻，复满在丑七刻。
右《授时》亏初、食甚、复满皆密合；《大明》亏初次亲，食甚亲，复满密合。
八月己丑望食，丑五刻亏初，寅初刻甚，寅四刻复满。
《授时历》，亏初在丑三刻，食甚在寅初刻，复满在寅四刻。
《大明历》，亏初在丑七刻，食甚在寅二刻，复满在寅四刻。
右《授时》亏初次亲，食甚、复满皆密合；《大明》亏初、食甚皆次亲，复满密合。
十七年庚辰，八月甲申望食，在昼，戌一刻复满。
《授时历》，复满在戌一刻。
《大明历》，复满在戌四刻。
右《授时》密合，《大明》疏。
已上四十五事，密合者，《授时》十有八，《大明》十有一；亲者，《授时》十有八，《大明》十有七；次亲者，《授时》九，《大明》十有四；疏者，《授时》无，《大明》二；疏远者，《授时》无，《大明》一。
定朔
日平行一度，月平行十三度十九分度之七，一昼夜之间，月先日十二度有奇，历二十九日五十三刻，复追及日，与之同度，是谓经朔。经朔云者，谓合朔大量不出此也。日有盈缩，月有迟疾，以盈缩迟疾之数损益之，始为定朔。
古人立法，简而未密，初用平朔，一大一小，故日食有在朔二，月食有在望前后者。汉张衡以月行迟疾，分为九道；宋何承天以日行盈缩，推定小余；故月有三大二小。隋刘孝孙、刘焯欲遵用其法，时议排抵，以为迂怪，卒不能行。唐傅仁均始采用之，至贞观十九年九月后，四月频大，复用平朔。讫麟德元年，始用李淳风《甲子元历》，定朔之法遂行。淳风又以晦月频见，故立进朔之法，谓朔日小余在日法四分之三已上者，虚进一日，后代皆循用之。然虞絪尝曰：“朔在会同，苟躔次既合，何疑于频大；日月相离，何拘于间小。”一行亦曰：“天事诚密，虽四大三小，庸何伤。”今但取辰集时刻所在之日以为定朔，朔虽小余在进限，亦不之进，甚矣，人之安于故习也。
初历法用平朔，止知一大一小，为法之不可易，初闻三大二小之说，皆不以为然。自有历以来，下讫麟德，而定朔始行，四大三小，理数自然，唐人弗克若天，而止用平朔。迨本朝至元，而常议方革。至如进朔之意，止欲避晦日月见，殊不思合朔在酉戌亥，距前日之卯十八九辰矣，若进一日，则晦不见月，此论诚然。苟合朔在辰申之间，法不当进，距前日之卯已逾十四五度，则月见于晦，庸得免乎？且月之隐见，本天道之自然，朔之进退，出入为之牵强，孰若废人用天，不复虚进，为得其实哉。至理所在，奚恤乎人言，可为知者道也。
不用积年日法
历法之作，所以步日月之躔离，候气朔之盈虚，不揆其端，无以测知天道，而与之吻合；然日月之行迟速不同，气朔之运参差不一，昔人立法，必推求往古生数之始，谓之演纪上元。当斯之际，日月五星同度，如合璧连珠然。惟其世代绵远，驯积其数至逾亿万，后人厌其布算繁多，互相推考，断截其数而增损日法，以为得改宪之术，此历代积年日法所以不能相同者也。然行之未远，浸复差失，盖天道自然，岂人为附会所能苟合哉？夫七政运行于天，进退自有常度，苟原始要终，候验周匝，则象数昭著，有不容隐者，又何必舍目前简易之法，而求亿万年宏阔之术哉？
今《授时历》以至元辛巳为元，所用之数，一本诸天，秒而分，分而刻，刻而日，皆以百为率，比之他历积年日法，推演附会，出于人为者，为得自然。
或曰：“昔人谓建历之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至，然则历之有积年日法尚矣。自黄帝以来，诸历转相祖述，殆七八十家，未闻舍此而能成者。今一切削去，无乃昧于本原，而考求未得其方欤？”是殆不然。晋杜预有云：“治历者，当顺天以求合，非为合以验天。”前代演积之法，不过为合验天耳。今以旧历颇疏，乃命厘正，法之不密，在所必更，奚暇踵故习哉。遂取汉以来诸历积年日法及行用年数，具列于后，仍附演积数法，以释或者之疑。
《三统历》（西汉太初元年丁丑邓平造，行一百八十八年，至东汉元和乙酉，后天七十八刻。）
积年，十一四万四千五百一十一。
日法，八十一。
《四分历》，（东汉元和二年乙酉编）造，行一百二十一年，至建安丙戌，后天七刻。）
积年，一万五百六十一。
日法，四。
《乾象历》（建安十一年丙戌刘洪造，行三十一年，魏景初丁巳，后天七刻。）
积年，八千四百五十二。
日法，一千四百五十七。
《景初历》（魏景初元年丁巳杨伟造，行二百六年，至宋元嘉癸未，先天五十刻。）
积年，五千八十九。
日法，四千五百五十九。
《元嘉历》（宋元嘉二十年癸未何承天造，行二十年，至大明七年癸卯，先天五十刻。）
积年，六千五百四十一。
日法，七百五十二。
《大明历》（宋大明七年癸卯宋祖冲之造，行五十八年，至魏正光辛丑，后天二十九刻。）
积年，五万二千七百五十七。
日法，三千九百三十九。
《正光历》（后魏正光二年辛丑李业兴造，行一十九年，至兴和庚申，先天十三刻。）
积年，一十六万八千五百九。
日法，七万四千九百五十二。
《兴和历》（兴和二年庚申李业兴造，行一十年，至齐天保庚午，先天九十九刻。）
积年，二十万四千七百三十七。
日法，二十万八千五百三十。
《天保历》（北齐天保元年庚午宋景业造，行一十七年，至周天和丙戌，后天一日八十七刻。）
积年，一十一万一千二百五十七。
日法，二万三千六百六十。
《天和历》（后周天和元年丙戌甄鸾造，行一十三年，至大象己亥，先天四十刻。）
积年，八十七万六千五百七。
日法，二万三千四百六十。
《大象历》（大象元年己亥马显造，行五年，至隋开皇甲辰，后天十刻。）
积年，四万二千二百五十五。
日法，一万二千九百九十二。
《开皇历》（隋开皇四年甲辰张宾造，行二十四年，至大业戊辰，后天七刻。）
积年，四百一十二万九千六百九十七。
日法，一十万二千九百六十。
《大业历》（大业四年戊辰张胄玄造，行一十一年，至唐武德己卯，后天七刻。）
积年，一百四十二万八千三百一十七。
日法，一千一百四十四。
《戊寅历》（唐武德二年己卯道士傅仁均造，行四十六年，至麟德乙丑，后天四十七刻。）
积年，一十六万五千三。
日法，一万三千六。
《麟德历》（麟德二年乙丑李淳风造，行六十三年，至开元戊辰，后天一十二刻。）
积年，二十七万四百九十七。
日法，一千三百四十。
《大衍历》（开元十六年戊辰僧一行造，行三十四年，至宝应壬寅，先天一十三刻。）
积年，九千六百九十六万二千二百九十七。
日法，三千四十。
《五纪历》（宝应元年壬寅郭献之造，行二十三年，至贞元乙丑，后天二十四刻。）
积年，二十七万四百九十七。
日法，一千三百四十。
《贞元历》（贞元元年乙丑徐承嗣造，行三十七年，至长庆壬寅，先天十五刻。）
积年，四十万三千三百九十七。
日法，一千九十五。
《宣明历》（长庆二年壬寅徐昂造，行七十一年，至景福癸丑，先天四刻。）
积年，七百七万五百九十七。
日法，八千四百。
《崇玄历》（景福二年癸丑边冈造，行十四年，后六十三年，至周显德丙辰，先天四刻。）
积年，五千三百九十四万七千六百九十七。
日法，一万三千五百。
《钦天历》（五代周显德三年丙辰王朴造，行五年，至宋建隆庚申，先天二刻。）
积年，七千二百六十九万八千七百七十七。
日法，七千二百。
《应天历》（宋建隆元年庚申王处讷造，行二十一年，至太平兴国辛巳，后天二刻。）
积年，四百八十二万五千八百七十七。
日法，一万单二。
《乾元历》（太平兴国六年辛巳吴昭素造，行二十年，至咸平辛丑，合。）
积年，三千五十四万四千二百七十七。
日法，二千九百四十。
《仪天历》（咸平四年辛丑史序造，行二十三年，至天圣甲子，合。）
积年，七十一万六千七百七十七。
日法，一万一百。
《崇天历》（天圣二年甲子宋行古造，行四十年，至治平甲辰，后天五十四刻。）
积年，九千七百五十五万六千五百九十七。
日法，一万五百九十。
《明天历》（治平元年甲辰周琮造，行一十年，至熙宁甲寅，合。）
积年，七十一万一千九百七十七。
日法，三万九千。
《奉元历》（熙宁七年甲寅卫朴造，行十八年，至元祐壬申，后天七刻。）
积年，八千三百一十八万五千二百七十七。
日法，二万三千七百。
《观天历》（元祐七年壬申皇居卿造，行一十一年，至崇宁癸未，先天六刻。）
积年，五百九十四万四千九百九十七。
日法，一万二千三十。
《占天历》（崇宁二年癸未姚舜辅造，行三年，至丙戌，后天四刻。）
积年，二千五百五十万一千九百三十七。
日法，二万八千八十。
《纪元历》（崇宁五年丙戌姚舜辅造，行二十一年，至金天会丁未，合。）
积年，二千八百六十一万三千四百六十七。
日法，七千二百九十。
《大明历》（金天会五年丁未杨级造，行五十三年，至大定庚子，合。）
积年，三亿八千三百七十六万八千六百五十七。
日法，五千二百三十。
《重修大明历》（大定二十年庚子赵知微重修，行一百一年，至元朝至元辛巳，后天一十九刻。）
积年，八千八百六十三万九千七百五十七。
日法，五千二百三十。
《统元历》（后宋绍兴五年乙卯陈得一造，行三十二年，至乾道丁亥，合。）
积年，九千四百二十五万一千七百三十七。
日法，六千九百三十。
《乾道历》（乾道三年丁亥刘孝荣造，行九年，至淳熙丙申，后天一刻。）
积年，九千一百六十四万五千九百三十七。
日法，三万。
《淳熙历》（淳熙三年丙申刘孝荣造，行一十五年，至绍熙辛亥，合。）
积年，五千二百四十二万二千七十七。
日法，五千六百四十。
《会元历》（绍熙二年辛亥刘孝荣造，行八年，至庆元己未，后天一十刻。）
积年，二千五百四十九万四千八百五十七。
日法，三万八千七百。
《统天历》（庆元五年己未杨忠辅造，行八年，至开禧丁卯，先天六刻。）
积年，三千九百一十七。
日法，一万二千。
《开禧历》（开禧三年丁卯鲍浣之造，行四十四年，至淳祐辛亥，后天七刻。）
积年，七百八十四万八千二百五十七。
日法，一万六千九百。
《淳祐历》（淳祐十年庚戌李德卿造，行一年，至壬子，合。）
积年，一亿二千二十六万七千六百七十七。
日法，三千五百三十。
《会天历》（宝祐元年癸丑谭玉造，行十八年，至咸淳辛未，后天一刻。）
积年，一千一百三十五万六千一百五十七。
日法，九千七百四十。
《成天历》（咸淳七年辛未陈鼎造，行四年，至至元辛巳，后天一刻。）
积年，七千一百七十五万八千一百五十七。
日法，七千四百二十。
此下不曾行用，见于典籍经进者二历。
《皇极历》（大业间刘焯造，阻难不行，至唐武德二年己卯，先天四十三刻。）
积年，一百万九千五百一十七。
日法，一千二百四十二。
《乙未历》（大定二十年庚子耶律履造，不曾行用，至辛巳，后天一十九刻。）
积年，四千四十五万三千一百二十六。
日法，二万六百九十。
《授时历》（元至元十八年辛巳为元。）
积年、日法不用。
实测到至元十八年辛巳岁。
气应，五十五日六百分。
闰应，二十日一千八百五十分。
经朔，三十四日八千七百五十分。
日法，二千一百九十，演纪上元己亥，距至元辛巳九千八百二十五万一千四百二十二算。
气应，五十五日六百二分。
闰应，二十日一千八百五十三分。
经朔，三十四日八千七百四十九分。
日法，八千二百七十，演纪上元甲子，距辛巳五百六十七万五百五十七算，日命甲子。
气应，五十五日五百三十三分。
闰应，二十日一千八百八分。
经朔，三十四日八千七百二十五分。
日法，六千五百七十，寅纪上元甲子，距辛巳三千九百七十五万二千五百三十七算。
气应，五十五日六百三十一分。
闰应，二十日一千九百一十九分。
经朔，三十四日八千七百一十二分。